Ejercicios resueltos de la elipse

Ejercicios de la unidad 12 del curso de matemáticas: la elipse. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

1.- Encuentra los vértices y los focos de $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Horizontal con $a = 4$, $b = 3$, $c = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$. Vértices $(\pm 4,\, 0)$ y focos $(\pm\sqrt{7},\, 0)$.

2.- Los focos de $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ son:

• a) $(\pm 4,\, 0)$
• b) $(0,\, \pm 4)$
• c) $(0,\, \pm 5)$
• d) $(0,\, \pm\sqrt{34})$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) El 25 está bajo $y^2$: eje vertical con $a = 5$, $b = 3$ y $c = \sqrt{25 - 9} = 4$.

3.- ¿Cuánto mide el lado recto de la elipse del ejercicio 2?

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$LR = \dfrac{2b^2}{a} = \dfrac{2(9)}{5} = \dfrac{18}{5}$.

4.- ¿Cuál es la excentricidad de $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$?

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$c = \sqrt{25 - 16} = 3$; $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}$.

5.- Escribe la ecuación de la elipse con vértices $(\pm 6,\, 0)$ y focos $(\pm 4,\, 0)$.

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$a = 6$, $c = 4$, $b^2 = 36 - 16 = 20$: $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{20} = 1$.

6.- La elipse con centro en el origen, focos $(0,\, \pm 3)$ y eje menor de longitud 8 es:

• a) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{25} = 1$
• b) $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$
• c) $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$
• d) $\dfrac{x^2}{64} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $b = 4$, $c = 3$, $a^2 = 16 + 9 = 25$. Como los focos están en el eje $Y$, el 25 va bajo $y^2$.

7.- Escribe $9x^2 + 4y^2 = 36$ en forma ordinaria y di si su eje mayor es horizontal o vertical.

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Dividiendo entre 36: $\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. El denominador mayor está bajo $y^2$: eje vertical, con $a = 3$ y $b = 2$.

8.- Encuentra el centro y los semiejes de $x^2 + 4y^2 - 4x + 8y - 8 = 0$.

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$(x^2 - 4x + 4) + 4(y^2 + 2y + 1) = 8 + 4 + 4 \Rightarrow (x-2)^2 + 4(y+1)^2 = 16 \Rightarrow \frac{(x-2)^2}{16} + \frac{(y+1)^2}{4} = 1$$

Centro $(2,\, -1)$, $a = 4$ (horizontal), $b = 2$.

9.- Escribe la ecuación de la elipse con centro $(-1,\, 3)$, eje mayor horizontal de longitud 10 y eje menor de longitud 6.

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$a = 5$, $b = 3$: $\dfrac{(x+1)^2}{25} + \dfrac{(y-3)^2}{9} = 1$.

10.- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa una elipse?

• a) $x^2 + y^2 - 4 = 0$
• b) $3x^2 + 5y^2 - 6x - 12 = 0$
• c) $x^2 - 2y^2 + 3 = 0$
• d) $y^2 - 4x + 1 = 0$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) Los coeficientes de $x^2$ y $y^2$ tienen el mismo signo y son distintos. La a) es una circunferencia, la c) una hipérbola y la d) una parábola.

Si tuviste dudas, repasa la clase:

La elipse

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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