Ejercicios resueltos de la ecuación general de segundo grado

Ejercicios de la unidad 14 del curso de matemáticas: identificación de cónicas con la ecuación general de segundo grado $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta».

1.- ¿Qué cónica representa $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$?

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Circunferencia: $A = C = 1$ y $B = 0$. Completando cuadrados: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 25$.

2.- ¿Qué cónica representa $3x^2 + 5y^2 - 6x = 0$?

• a) Circunferencia
• b) Parábola
• c) Elipse
• d) Hipérbola

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) $A$ y $C$ tienen el mismo signo y son distintos.

3.- ¿Qué cónica representa $y^2 - 8x + 2y = 0$?

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Parábola: $A = 0$ (no hay $x^2$) y $C \neq 0$.

4.- ¿Qué cónica representa $x^2 - 4y^2 + 2x - 3 = 0$?

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Hipérbola: $A = 1$ y $C = -4$ tienen signos contrarios.

5.- La ecuación $4x^2 - 4xy + y^2 + x = 0$ representa una:

• a) Elipse
• b) Parábola
• c) Hipérbola
• d) Circunferencia

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $B^2 - 4AC = 16 - 4(4)(1) = 0$.

6.- ¿Qué cónica representa $x^2 + xy + y^2 - 3 = 0$?

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$B^2 - 4AC = 1 - 4 = -3 < 0$: elipse (girada).

7.- ¿Qué cónica representa $xy = 4$?

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$A = C = 0$, $B = 1$: $B^2 - 4AC = 1 > 0$, hipérbola (equilátera).

8.- ¿Qué cónica representa $2x^2 + 3xy - 2y^2 + 5 = 0$?

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$9 - 4(2)(-2) = 25 > 0$: hipérbola.

9.- ¿Qué ángulo hay que girar los ejes para eliminar el término $xy$ de $5x^2 + 4xy + 2y^2 - 6 = 0$? ¿Qué cónica es?

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\tan 2\theta = \dfrac{4}{5 - 2} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow 2\theta \approx 53.13° \Rightarrow \theta \approx 26.57°$.

$B^2 - 4AC = 16 - 40 < 0$: es una elipse.

10.- ¿Qué representa $x^2 + y^2 + 2x - 4y + 10 = 0$?

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(x+1)^2 + (y-2)^2 = -10 + 1 + 4 = -5$. Una suma de cuadrados no puede ser negativa: ningún punto real.

11.- ¿Qué representa $x^2 - y^2 = 0$?

• a) Una hipérbola equilátera
• b) Dos rectas que se cortan
• c) Un punto
• d) Una circunferencia

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $(x - y)(x + y) = 0 \Rightarrow y = x$ o $y = -x$. Es una hipérbola degenerada.

12.- ¿Para qué valores de $k$ la ecuación $x^2 + ky^2 - 4 = 0$ representa una elipse?

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Para $k > 0$ con $k \neq 1$ (si $k = 1$ es una circunferencia; si $k < 0$, una hipérbola).

Si tuviste dudas, repasa la clase:

Ecuación general de segundo grado

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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