Ecuación de la recta tangente y la recta normal a una curva

La derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente (interpretación geométrica). Con esa pendiente y el punto, la forma punto-pendiente da la ecuación de la tangente. La recta normal es la perpendicular a la tangente en el mismo punto.

Método

Para la curva $y = f(x)$ en $x = a$:

1. Punto: calcula $f(a)$. El punto de tangencia es $(a,\, f(a))$.
2. Pendiente de la tangente: $m_t = f'(a)$.
3. Recta tangente: $y - f(a) = m_t\,(x - a)$.
4. Pendiente de la normal: $m_n = -\dfrac{1}{m_t}$ (recíproca con signo contrario).
5. Recta normal: $y - f(a) = m_n\,(x - a)$.

Ejemplo resuelto

Encuentra la tangente y la normal a $f(x) = x^3 - 2x$ en $x = 1$.

1. $f(1) = 1 - 2 = -1$. Punto: $(1,\, -1)$.
2. $f'(x) = 3x^2 - 2$, así que $m_t = f'(1) = 1$.
3. Tangente: $y + 1 = 1(x - 1) \Rightarrow y = x - 2$.
4. $m_n = -\dfrac{1}{1} = -1$.
5. Normal: $y + 1 = -1(x - 1) \Rightarrow y = -x$.

• f(x) = x³ − 2x
• tangente y = x − 2
• normal y = −x

Casos especiales

• Tangente horizontal: si $f'(a) = 0$, la tangente es $y = f(a)$ y la normal es la recta vertical $x = a$.
• Encontrar dónde la tangente tiene cierta pendiente: se resuelve $f'(x) = m$.

Ejemplo: ¿en qué punto de $y = x^2 - 6x + 1$ la tangente es horizontal?

$$y' = 2x - 6 = 0 \;\Rightarrow\; x = 3, \qquad y = 9 - 18 + 1 = -8$$

En el punto $(3,\, -8)$, que es el vértice de la parábola.

Ejemplo: ¿en qué punto de $y = x^2$ la tangente es paralela a $y = 4x - 1$?

Paralela significa misma pendiente: $2x = 4 \Rightarrow x = 2$. El punto es $(2,\, 4)$ y la tangente es $y = 4x - 4$.

Con derivación implícita

Para curvas que no son funciones, como la circunferencia $x^2 + y^2 = 25$, se usa la derivada implícita: $y' = -\dfrac{x}{y}$. En $(3,\, 4)$, $m_t = -\dfrac{3}{4}$:

$$y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3) \;\Rightarrow\; 3x + 4y - 25 = 0$$

La normal tiene pendiente $\dfrac{4}{3}$ y pasa por el centro de la circunferencia, como se espera: $y = \dfrac{4}{3}x$.

Comprueba lo aprendido

1. Encuentra la tangente a $y = x^2$ en el punto $(2,\, 4)$Ver respuestaOcultar respuesta

$y' = 2x \Rightarrow m = 4$. Tangente: $y - 4 = 4(x - 2) \Rightarrow y = 4x - 4$.

2. Encuentra la normal a $y = x^2$ en $(2,\, 4)$Ver respuestaOcultar respuesta

$m_n = -\dfrac{1}{4}$: $y - 4 = -\dfrac{1}{4}(x - 2) \Rightarrow x + 4y - 18 = 0$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la derivada

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

Ver Libro