Desigualdades de segundo grado (cuadráticas)

Una desigualdad de segundo grado tiene la forma $ax^2 + bx + c > 0$ (o con $<$, $\ge$, $\le$). Para resolverla se combinan dos cosas que ya conoces: resolver una ecuación de segundo grado y analizar el signo de un producto.

Método de los intervalos

1. Pasa todo a un lado para que el otro quede en cero.
2. Encuentra las raíces resolviendo la ecuación igualada a cero.
3. Ubica las raíces en la recta numérica: la dividen en intervalos.
4. Determina el signo de la expresión en cada intervalo (con una tabla de signos o probando un valor).
5. Elige los intervalos que cumplen la desigualdad. Incluye las raíces si el signo es $\le$ o $\ge$.

Ejemplo 1: x² − x − 6 > 0

Factorizamos: $(x - 3)(x + 2) > 0$. Las raíces son $x = -2$ y $x = 3$.

Buscamos donde el producto es positivo:

$$\text{Solución: } (-\infty,\, -2) \cup (3,\, \infty)$$

El símbolo $\cup$ (unión) indica que la solución está formada por los dos intervalos.

Interpretación gráfica

La expresión es positiva donde la parábola $y = x^2 - x - 6$ está por encima del eje $X$, y negativa donde está por debajo:

• y = x² − x − 6

Regla rápida: si $a > 0$ (la parábola abre hacia arriba) y hay dos raíces $r_1 < r_2$:

• $ax^2 + bx + c > 0$ afuera de las raíces: $x < r_1$ o $x > r_2$.
• $ax^2 + bx + c < 0$ entre las raíces: $r_1 < x < r_2$.

Ejemplo 2: 2x² + x − 3 < 0

Factorizamos: $(2x + 3)(x - 1) < 0$. Raíces: $x = -\frac{3}{2}$ y $x = 1$. Como $a = 2 > 0$ y buscamos «menor que cero», la solución está entre las raíces:

$$\left(-\tfrac{3}{2},\; 1\right)$$

Ejemplo 3: x² ≤ 9

$x^2 - 9 \le 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \le 0$. Entre las raíces, incluyéndolas:

$$[-3,\; 3]$$

Error frecuente: escribir $x \le \pm 3$. La desigualdad $x^2 \le 9$ no se resuelve sacando raíz como una ecuación.

Ejemplo 4: cuando no hay raíces reales

$x^2 + x + 1 > 0$. El discriminante es $1 - 4 = -3 < 0$: la parábola no toca el eje $X$, y como abre hacia arriba, siempre está por encima. La desigualdad se cumple para todos los reales: $(-\infty,\, \infty)$.

En cambio, $x^2 + x + 1 < 0$ no tiene solución.

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve $x^2 - 4 < 0$Ver respuestaOcultar respuesta

$(x-2)(x+2) < 0$: entre las raíces, $(-2,\, 2)$.

2. Resuelve $x^2 - 5x \ge 0$Ver respuestaOcultar respuesta

$x(x - 5) \ge 0$: afuera de las raíces, incluyéndolas: $(-\infty,\, 0] \cup [5,\, \infty)$.

3. ¿Para qué valores se cumple $x^2 + 9 < 0$?Ver respuestaOcultar respuesta

Para ninguno: $x^2 + 9$ siempre es positivo.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de desigualdades

Referencias

• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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