Área entre dos curvas con integrales

Con la integral definida puedes calcular el área bajo una curva. Si la región está limitada por dos curvas, el área es la integral de la diferencia entre la curva de arriba y la de abajo.

Fórmula

Si $f(x) \ge g(x)$ en el intervalo $[a,\, b]$:

$$A = \int_a^b \big[f(x) - g(x)\big]\,dx \qquad (\text{curva de arriba} - \text{curva de abajo})$$

Método

1. Encuentra los puntos de intersección igualando las funciones: $f(x) = g(x)$. Sus abscisas son los límites $a$ y $b$.
2. Identifica cuál curva está arriba: evalúa ambas en un punto entre $a$ y $b$ (o haz una gráfica).
3. Integra la diferencia (arriba − abajo) de $a$ a $b$.

Ejemplo 1: recta y parábola

Área entre $y = x$ y $y = x^2$.

1. Intersecciones: $x^2 = x \Rightarrow x(x - 1) = 0 \Rightarrow x = 0,\; x = 1$.
2. En $x = \frac{1}{2}$: la recta vale $0.5$ y la parábola $0.25$, así que la recta está arriba.
3. Integral:

$$A = \int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\;u^2$$

• y = x
• y = x²

Ejemplo 2: parábola que abre hacia abajo y recta

Área entre $y = 6 - x^2$ y $y = x$.

1. Intersecciones: $6 - x^2 = x \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow (x + 3)(x - 2) = 0 \Rightarrow x = -3,\; x = 2$.
2. En $x = 0$: la parábola vale 6 y la recta 0, así que la parábola está arriba.
3. Integral:

$$\begin{aligned} A &= \int_{-3}^{2}(6 - x^2 - x)\,dx = \left[6x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}\right]_{-3}^{2} \\ &= \left(12 - \frac{8}{3} - 2\right) - \left(-18 + 9 - \frac{9}{2}\right) = \frac{22}{3} + \frac{27}{2} = \frac{125}{6}\;u^2 \end{aligned}$$

• y = 6 − x²
• y = x

Cuando las curvas se cruzan dentro del intervalo

Si la curva de arriba cambia, hay que dividir la integral en los puntos de cruce y, en cada tramo, restar «arriba − abajo». Así ninguna parte da un valor negativo que reste área.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula el área entre $y = x^2$ y $y = 3x$Ver respuestaOcultar respuesta

Intersecciones: $x = 0$ y $x = 3$; arriba está la recta.

$$\int_0^3 (3x - x^2)\,dx = \left[\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^3 = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}\;u^2$$

2. Calcula el área entre $y = 2 - x^2$ y $y = -x$Ver respuestaOcultar respuesta

Intersecciones: $2 - x^2 = -x \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1,\; x = 2$.

$$\int_{-1}^{2}(2 - x^2 + x)\,dx = \left[2x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{9}{2}\;u^2$$

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de integrales

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

Ver Libro