Ejercicios resueltos de productos notables y factorización

Ejercicios de la unidad 2 del curso de matemáticas: productos notables, binomio de Newton, factorización, teorema del residuo y fracciones algebraicas. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Productos notables y binomio de Newton

1.- El desarrollo de $(2x+7)^2$ es:

• a) $4x^2+49$
• b) $4x^2+14x+49$
• c) $4x^2+28x+49$
• d) $2x^2+28x+49$

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) $(2x)^2 + 2(2x)(7) + 7^2 = 4x^2 + 28x + 49$.

2.- Desarrolla $(3a-4b)^2$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(3a)^2 - 2(3a)(4b) + (4b)^2 = 9a^2 - 24ab + 16b^2$.

3.- El producto $(x^2+5)(x^2-5)$ es:

• a) $x^4-25$
• b) $x^4+25$
• c) $x^2-25$
• d) $x^4-10x^2-25$

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) Son binomios conjugados: $(x^2)^2 - 5^2 = x^4 - 25$.

4.- Calcula $(x-8)(x+3)$

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Binomios con término común: $x^2 + (-8+3)x + (-8)(3) = x^2 - 5x - 24$.

5.- Desarrolla $(a+3)^3$

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$a^3 + 3a^2(3) + 3a(3)^2 + 3^3 = a^3 + 9a^2 + 27a + 27$.

6.- El tercer término del desarrollo de $(x-2)^5$ es:

• a) $-40x^3$
• b) $40x^3$
• c) $10x^3$
• d) $-80x^2$

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) El tercer término corresponde a $k=2$:

$$T_3 = \binom{5}{2}x^{3}(-2)^2 = 10\cdot 4\,x^3 = 40x^3$$

Factorización

7.- Factoriza $12a^2b - 18ab^2$

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Factor común $6ab$: $6ab(2a - 3b)$.

8.- Factoriza $3x(a-2) + 5(a-2)$

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

El factor común es el binomio $(a-2)$: $(a-2)(3x+5)$.

9.- Factoriza $mx - my + nx - ny$

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Por agrupación: $m(x-y) + n(x-y) = (x-y)(m+n)$.

10.- La factorización de $81 - 4y^2$ es:

• a) $(9-2y)^2$
• b) $(9-2y)(9+2y)$
• c) $(81-2y)(81+2y)$
• d) $(9-4y)(9+4y)$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) Diferencia de cuadrados: $\sqrt{81} = 9$, $\sqrt{4y^2} = 2y$.

11.- Factoriza $x^2 - 12x + 36$

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Trinomio cuadrado perfecto: $\sqrt{x^2}=x$, $\sqrt{36}=6$ y $2(x)(6) = 12x$. Resultado: $(x-6)^2$.

12.- La factorización de $x^2 + 3x - 28$ es:

• a) $(x+4)(x-7)$
• b) $(x-4)(x-7)$
• c) $(x+7)(x-4)$
• d) $(x+14)(x-2)$

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) Dos números con producto $-28$ y suma $3$: $7$ y $-4$.

13.- Factoriza $3x^2 - 10x - 8$

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$a\cdot c = -24$; números con producto $-24$ y suma $-10$: $-12$ y $2$.

$$3x^2 - 12x + 2x - 8 = 3x(x-4) + 2(x-4) = (x-4)(3x+2)$$

14.- Factoriza $27x^3 + 1$

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Suma de cubos con $a = 3x$ y $b = 1$:

$$(3x+1)(9x^2 - 3x + 1)$$

15.- Factoriza completamente $2x^3 - 50x$

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Primero el factor común y luego la diferencia de cuadrados:

$$2x(x^2-25) = 2x(x-5)(x+5)$$

Teorema del residuo y del factor

16.- El residuo de dividir $2x^3 - x^2 + 4$ entre $x + 1$ es:

• a) $7$
• b) $5$
• c) $1$
• d) $3$

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) Se sustituye $x = -1$: $2(-1)^3 - (-1)^2 + 4 = -2 - 1 + 4 = 1$.

17.- ¿Qué valor de $k$ hace que $x - 3$ sea factor de $x^2 + kx - 12$?

17. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Debe cumplirse $P(3) = 0$: $9 + 3k - 12 = 0 \Rightarrow 3k = 3 \Rightarrow k = 1$.

Fracciones algebraicas

18.- Simplifica $\dfrac{x^2-4x}{x^2-16}$

18. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$\frac{x(x-4)}{(x-4)(x+4)} = \frac{x}{x+4}$$

19.- Al simplificar $\dfrac{2x^2+x-3}{x^2-1}$ se obtiene:

• a) $\dfrac{2x+3}{x+1}$
• b) $\dfrac{2x-3}{x+1}$
• c) $\dfrac{2x+3}{x-1}$
• d) $2x+3$

19. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $2x^2 + x - 3 = (2x+3)(x-1)$ y $x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$; se cancela $(x-1)$.

20.- Calcula $\dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2}$

20. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$\frac{3x}{x^2} + \frac{2}{x^2} = \frac{3x+2}{x^2}$$

21.- Calcula $\dfrac{1}{x-3} - \dfrac{1}{x+3}$

21. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$\frac{(x+3) - (x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{6}{x^2-9}$$

22.- Simplifica $\dfrac{x^2-25}{x+1}\cdot\dfrac{x^2-1}{x-5}$

22. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$\frac{(x-5)(x+5)}{x+1}\cdot\frac{(x-1)(x+1)}{x-5} = (x+5)(x-1) = x^2 + 4x - 5$$

23.- Simplifica $\dfrac{a^2-ab}{b} \div \dfrac{a^2-b^2}{b^2}$

23. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$\frac{a(a-b)}{b}\cdot\frac{b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab}{a+b}$$

24.- Simplifica la fracción compleja $\dfrac{x + \frac{1}{x}}{x - \frac{1}{x}}$

24. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$\frac{\frac{x^2+1}{x}}{\frac{x^2-1}{x}} = \frac{x^2+1}{x^2-1}$$

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Productos notables

Factorización

Fracciones algebraicas

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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