Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado

Ejercicios de la unidad 3 del curso de matemáticas, segunda parte: ecuaciones de segundo grado y problemas que se resuelven con ellas. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento completo.

Ecuaciones incompletas

1.- Resuelve $x^2 - 81 = 0$

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$x^2 = 81 \Rightarrow x = \pm 9$.

2.- Las soluciones de $5x^2 + 20x = 0$ son:

• a) $x = 0$ y $x = 4$
• b) $x = 0$ y $x = -4$
• c) $x = 4$ y $x = -4$
• d) Solo $x = -4$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $5x(x + 4) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = -4$.

Factorización

3.- Resuelve $x^2 + 7x + 10 = 0$

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$(x+5)(x+2) = 0 \Rightarrow x_1 = -5,\; x_2 = -2$.

4.- Las soluciones de $x^2 - 2x - 15 = 0$ son:

• a) $5$ y $3$
• b) $-5$ y $3$
• c) $5$ y $-3$
• d) $15$ y $-1$

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) $(x-5)(x+3) = 0$.

5.- Resuelve $6x^2 - x - 2 = 0$

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$a\cdot c = -12$; los números son $-4$ y $3$:

$$6x^2 - 4x + 3x - 2 = 2x(3x - 2) + 1(3x - 2) = (3x-2)(2x+1) = 0$$

$x_1 = \dfrac{2}{3}$, $x_2 = -\dfrac{1}{2}$.

Completar el cuadrado y fórmula general

6.- Resuelve $x^2 - 8x + 12 = 0$ completando el cuadrado.

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$x^2 - 8x = -12 \Rightarrow x^2 - 8x + 16 = 4 \Rightarrow (x-4)^2 = 4 \Rightarrow x - 4 = \pm 2$$

$x_1 = 6$, $x_2 = 2$.

7.- Las soluciones de $3x^2 - 5x - 2 = 0$ son:

• a) $2$ y $-\dfrac{1}{3}$
• b) $-2$ y $\dfrac{1}{3}$
• c) $1$ y $-\dfrac{2}{3}$
• d) $\dfrac{5}{3}$ y $0$

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $\Delta = 25 + 24 = 49$:

$$x = \frac{5 \pm 7}{6} \Rightarrow x_1 = 2,\;\; x_2 = -\frac{1}{3}$$

8.- Resuelve $x^2 - 2x - 1 = 0$

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$$

Discriminante

9.- ¿Cuántas soluciones reales tiene $2x^2 + 3x + 4 = 0$?

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\Delta = 9 - 32 = -23 < 0$: ninguna solución real (tiene dos complejas).

10.- Resuelve $x^2 + 4x + 13 = 0$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\Delta = 16 - 52 = -36$:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i$$

11.- ¿Para qué valores de $k$ la ecuación $x^2 + kx + 9 = 0$ tiene una sola solución?

• a) $k = 3$
• b) $k = 9$
• c) $k = \pm 6$
• d) $k = 0$

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) Una sola solución significa $\Delta = 0$: $k^2 - 36 = 0 \Rightarrow k = \pm 6$.

12.- Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean $-2$ y $5$.

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Suma $= 3$, producto $= -10$: $x^2 - 3x - 10 = 0$. Comprobación: $(x+2)(x-5) = x^2 - 3x - 10$ ✓

13.- Resuelve $(x+1)^2 = 2x + 10$

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$x^2 + 2x + 1 = 2x + 10 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$.

14.- Resuelve $x + \dfrac{6}{x} = 5$

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Multiplica por $x$: $x^2 + 6 = 5x \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0$. Soluciones: $2$ y $3$.

Problemas

15.- Un número sumado con su cuadrado da 42. ¿Cuál es el número?

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$x^2 + x - 42 = 0 \Rightarrow (x+7)(x-6) = 0$. El número puede ser 6 o −7.

16.- Un rectángulo tiene 34 cm de perímetro y 60 cm² de área. ¿Cuáles son sus dimensiones?

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Si un lado mide $x$, el otro mide $17 - x$ (la mitad del perímetro es 17):

$$x(17 - x) = 60 \Rightarrow x^2 - 17x + 60 = 0 \Rightarrow (x-5)(x-12) = 0$$

Mide 5 cm por 12 cm.

17.- Dos hermanos se llevan 5 años y el producto de sus edades es 24. ¿Qué edad tiene cada uno?

• a) 3 y 8 años
• b) 4 y 6 años
• c) 2 y 12 años
• d) 1 y 6 años

17. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) $x(x+5) = 24 \Rightarrow x^2 + 5x - 24 = 0 \Rightarrow (x+8)(x-3) = 0$. Se descarta $-8$: tienen 3 y 8 años.

18.- La altura de un proyectil es $h = 30t - 5t^2$ (en metros, con $t$ en segundos). ¿En qué momentos está a 40 m de altura?

18. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$30t - 5t^2 = 40 \Rightarrow 5t^2 - 30t + 40 = 0 \Rightarrow t^2 - 6t + 8 = 0 \Rightarrow (t-2)(t-4) = 0$$

A los 2 s (subiendo) y a los 4 s (bajando).

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Ecuaciones de segundo grado

Problemas con ecuaciones de segundo grado

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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