Función exponencial: gráfica, propiedades y ecuaciones exponenciales

Si una población de bacterias se duplica cada hora, después de 10 horas no habrá 10 veces más, sino $2^{10} = 1024$ veces más. Ese crecimiento tan rápido lo describe la función exponencial, que también modela el interés compuesto, la desintegración radiactiva y el enfriamiento de un objeto.

Definición

$$f(x) = a^x, \qquad a > 0,\;\; a \neq 1$$

La variable está en el exponente. El número $a$ es la base. (Si $a = 1$, la función sería constante, y las bases negativas no producen valores reales para todos los $x$).

Gráfica y propiedades

• y = 2ˣ
• y = (1/2)ˣ
• y = eˣ

1. Dominio: todos los reales. Rango: $(0,\, \infty)$: nunca es cero ni negativa.
2. Siempre pasa por el punto $(0,\, 1)$, porque $a^0 = 1$.
3. El eje $X$ ($y = 0$) es una asíntota horizontal.
4. Si $a > 1$, es creciente (crecimiento exponencial). Si $0 < a < 1$, es decreciente (decaimiento exponencial).
5. Es uno a uno, así que tiene inversa: el logaritmo.

El número e

La base más importante en ciencias es el número $e \approx 2.71828\ldots$, un número irracional, como $\pi$. La función $f(x) = e^x$ se llama exponencial natural y aparece en todo fenómeno cuyo ritmo de cambio es proporcional a su tamaño.

Ecuaciones exponenciales

Método 1: igualar las bases

Si $a^m = a^n$, entonces $m = n$. Se escriben ambos lados como potencias de la misma base:

$$2^{x+1} = 32 \;\Rightarrow\; 2^{x+1} = 2^5 \;\Rightarrow\; x + 1 = 5 \;\Rightarrow\; x = 4$$

$$9^x = 27 \;\Rightarrow\; (3^2)^x = 3^3 \;\Rightarrow\; 2x = 3 \;\Rightarrow\; x = \frac{3}{2}$$

$$4^x = \frac{1}{8} \;\Rightarrow\; 2^{2x} = 2^{-3} \;\Rightarrow\; x = -\frac{3}{2}$$

Método 2: aplicar logaritmos

Cuando no se pueden igualar las bases, se aplica logaritmo a ambos lados y se usa la propiedad $\ln a^x = x\ln a$:

$$5^x = 12 \;\Rightarrow\; x\ln 5 = \ln 12 \;\Rightarrow\; x = \frac{\ln 12}{\ln 5} \approx \frac{2.4849}{1.6094} \approx 1.544$$

Aplicaciones

Interés compuesto: un capital $P$ invertido a una tasa anual $r$ durante $t$ años se convierte en

$$A = P(1 + r)^t$$

Con $10 000 al 8 % anual durante 5 años: $A = 10\,000(1.08)^5 \approx 10\,000(1.4693) = 14\,693.28$, es decir, $14 693.28.

Crecimiento y decaimiento: $N(t) = N_0\,e^{kt}$. Si $k > 0$, la cantidad crece (poblaciones); si $k < 0$, disminuye (desintegración radiactiva, medicamentos en la sangre).

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve $3^{x-2} = 81$Ver respuestaOcultar respuesta

$3^{x-2} = 3^4 \Rightarrow x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$.

2. ¿La función $y = (0.3)^x$ es creciente o decreciente?Ver respuestaOcultar respuesta

Decreciente, porque su base está entre 0 y 1.

3. Resuelve $8^x = 4$Ver respuestaOcultar respuesta

$2^{3x} = 2^2 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3}$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de exponenciales y logaritmos

Referencias

• Stewart, J., Redlin, L. y Watson, S. (2017). Precálculo: matemáticas para el cálculo (7.ª ed.). Cengage Learning.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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