Regla de la cadena, derivación implícita y derivadas sucesivas

¿Cómo se deriva $(3x^2 + 1)^5$ sin desarrollar la potencia? ¿O la ecuación de una circunferencia, $x^2 + y^2 = 25$, en la que $y$ no está despejada? En esta clase verás tres técnicas que completan las reglas de derivación.

Regla de la cadena

Una función compuesta es una función dentro de otra, $f(g(x))$ (ver composición de funciones). Su derivada es:

$$\frac{d}{dx}f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)$$

En palabras: deriva la función de afuera (dejando igual lo de adentro) y multiplica por la derivada de lo de adentro. Con la notación de Leibniz, si $y = f(u)$ y $u = g(x)$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$$

Ejemplos

Potencia de una función ($u^n \to n\,u^{n-1}\,u'$):

$$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4\cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$$

Raíz:

$$\frac{d}{dx}\sqrt{1 - x^2} = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}}\cdot(-2x) = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$$

Trigonométricas:

$$\frac{d}{dx}\sin(4x) = \cos(4x)\cdot 4 \qquad\quad \frac{d}{dx}\cos^3 x = 3\cos^2 x\cdot(-\sin x) = -3\sin x\cos^2 x$$

Exponencial y logaritmo:

$$\frac{d}{dx}e^{x^2} = e^{x^2}\cdot 2x \qquad\quad \frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{1}{x^2 + 1}\cdot 2x = \frac{2x}{x^2+1}$$

Fórmulas generalizadas (con u función de x)

Derivación implícita

Cuando $y$ no está despejada, se derivan ambos lados respecto a $x$, tratando a $y$ como una función de $x$: cada vez que se deriva un término con $y$, se multiplica por $y'$ (regla de la cadena). Después se despeja $y'$.

Ejemplo 1: $x^2 + y^2 = 25$.

$$2x + 2y\,y' = 0 \;\Rightarrow\; y' = -\frac{x}{y}$$

En el punto $(3,\, 4)$ de la circunferencia, la pendiente de la tangente es $-\dfrac{3}{4}$.

Ejemplo 2: $xy = 6$. Con la regla del producto:

$$y + x\,y' = 0 \;\Rightarrow\; y' = -\frac{y}{x}$$

Ejemplo 3: $x^3 + y^3 = 6xy$.

$$3x^2 + 3y^2y' = 6y + 6xy' \;\Rightarrow\; y'(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2 \;\Rightarrow\; y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}$$

Derivadas sucesivas

La derivada de la derivada es la segunda derivada, y así sucesivamente:

$$f''(x) = \frac{d^2y}{dx^2} \qquad f'''(x) = \frac{d^3y}{dx^3} \qquad f^{(n)}(x)$$

Ejemplo: $f(x) = x^4 - 3x^2$.

$$f'(x) = 4x^3 - 6x \qquad f''(x) = 12x^2 - 6 \qquad f'''(x) = 24x \qquad f^{(4)}(x) = 24 \qquad f^{(5)}(x) = 0$$

Interpretación: si $s(t)$ es la posición, $s'(t)$ es la velocidad y $s''(t)$ la aceleración. En una gráfica, la segunda derivada indica la concavidad (se usa en máximos y mínimos).

Comprueba lo aprendido

1. Deriva $f(x) = (2x - 5)^4$Ver respuestaOcultar respuesta

$4(2x - 5)^3\cdot 2 = 8(2x - 5)^3$.

2. Deriva $f(x) = e^{-2x}$Ver respuestaOcultar respuesta

$e^{-2x}\cdot(-2) = -2e^{-2x}$.

3. Calcula la segunda derivada de $f(x) = 2x^3 - x^2 + 4$Ver respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = 6x^2 - 2x$ y $f''(x) = 12x - 2$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de derivadas

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Granville, W. A. (2009). Cálculo diferencial e integral. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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