Problemas de optimización con derivadas

Optimizar es encontrar la mejor opción posible: el área más grande con cierta cantidad de cerca, la caja de mayor volumen o el costo más bajo. Matemáticamente, se trata de encontrar el máximo o el mínimo de una función que tienes que construir a partir del problema.

Método

1. Dibuja la situación y asigna variables a las cantidades.
2. Escribe la función a optimizar (lo que se quiere maximizar o minimizar).
3. Usa la condición del problema (la restricción) para dejar la función con una sola variable.
4. Deriva, iguala a cero y resuelve para encontrar los puntos críticos.
5. Verifica que sea máximo o mínimo (con la segunda derivada o revisando el contexto) y que el valor tenga sentido.
6. Responde exactamente lo que se pregunta.

Ejemplo 1: el producto máximo

Dos números positivos suman 20. ¿Cuáles son si su producto es el mayor posible?

• Números: $x$ y $20 - x$ (restricción).
• Producto: $P(x) = x(20 - x) = 20x - x^2$.
• $P'(x) = 20 - 2x = 0 \Rightarrow x = 10$.
• $P''(x) = -2 < 0$: es un máximo.

Los números son 10 y 10, con producto 100.

Ejemplo 2: el terreno junto al río

Se tienen 600 m de cerca para un terreno rectangular junto a un río; el lado del río no se cerca. ¿Qué dimensiones dan el área máxima?

• Lados perpendiculares al río: $x$; lado paralelo: $y$.
• Restricción: $2x + y = 600 \Rightarrow y = 600 - 2x$.
• Área: $A(x) = x(600 - 2x) = 600x - 2x^2$.
• $A'(x) = 600 - 4x = 0 \Rightarrow x = 150$, y $y = 300$.
• $A''(x) = -4 < 0$: máximo.

El terreno debe medir 150 m × 300 m, con un área de 45 000 m².

• A(x) = 600x − 2x²

Ejemplo 3: la caja sin tapa

De una lámina cuadrada de 12 cm de lado se cortan cuadrados iguales en las esquinas y se doblan los bordes para formar una caja sin tapa. ¿De qué tamaño deben ser los cortes para obtener el volumen máximo?

• Lado del corte: $x$. La base mide $(12 - 2x)$ por lado y la altura es $x$.
• Volumen: $V(x) = x(12 - 2x)^2$, con $0 < x < 6$.
• Con la regla del producto:

$$V'(x) = (12 - 2x)^2 + x\cdot 2(12 - 2x)(-2) = (12 - 2x)(12 - 2x - 4x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$$

• $V'(x) = 0 \Rightarrow x = 6$ (no sirve: no hay caja) o $x = 2$.

Los cortes deben ser de 2 cm, y el volumen máximo es $V(2) = 2(8)^2 = 128$ cm³.

Ejemplo 4: el mínimo de una suma

¿Qué número positivo sumado con su recíproco da la suma más pequeña?

$$S(x) = x + \frac{1}{x} \qquad S'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \;\Rightarrow\; x = 1$$

$S''(x) = \dfrac{2}{x^3} > 0$ para $x > 0$: es un mínimo. El número es 1 y la suma mínima es 2.

Consejos

• Revisa el dominio real del problema: longitudes y cantidades no pueden ser negativas.
• Si la función está en un intervalo cerrado, compara también los extremos.
• Lee bien la pregunta: a veces piden las dimensiones, otras el valor máximo, otras ambos.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué dimensiones tiene el rectángulo de área máxima con perímetro de 36 cm?Ver respuestaOcultar respuesta

Lados $x$ y $18 - x$: $A = 18x - x^2$, $A' = 18 - 2x = 0 \Rightarrow x = 9$. Es un cuadrado de 9 cm × 9 cm (área 81 cm²).

2. Una pelota sigue $h(t) = 40t - 5t^2$. ¿Cuál es su altura máxima?Ver respuestaOcultar respuesta

$h'(t) = 40 - 10t = 0 \Rightarrow t = 4$ s; $h(4) = 160 - 80 = 80$ m.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de aplicaciones de la derivada

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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