La integral indefinida: diferencial, antiderivada e integrales inmediatas

Integrar es el proceso inverso de derivar: si la derivada responde «¿qué tan rápido cambia?», la integral responde «¿cuánto se acumuló?». En esta clase verás la integral indefinida y las fórmulas básicas, que son la base para calcular áreas, volúmenes y muchas cantidades en física.

La diferencial

Si $y = f(x)$, la diferencial de $y$ es

$$dy = f'(x)\,dx$$

Representa el cambio aproximado de $y$ cuando $x$ cambia una cantidad pequeña $dx$. Por ejemplo, si $y = x^3$, entonces $dy = 3x^2\,dx$.

Aplicación (aproximaciones): para estimar $\sqrt{26}$, usa $y = \sqrt{x}$ con $x = 25$ y $dx = 1$:

$$dy = \frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx = \frac{1}{10}(1) = 0.1 \;\Rightarrow\; \sqrt{26} \approx 5 + 0.1 = 5.1$$

(El valor real es 5.0990…)

Antiderivada e integral indefinida

Una antiderivada de $f(x)$ es una función $F(x)$ cuya derivada es $f(x)$. Por ejemplo, $x^3$ es antiderivada de $3x^2$. Pero también lo son $x^3 + 5$ o $x^3 - 2$, porque la derivada de una constante es cero. Por eso se agrega una constante de integración $C$:

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

• $\int$ es el signo de integral.
• $f(x)$ es el integrando.
• $dx$ indica la variable de integración.

Comprobación: siempre puedes verificar una integral derivando el resultado: debes obtener el integrando.

Propiedades

$$\int k\,f(x)\,dx = k\int f(x)\,dx \qquad\qquad \int [f(x) \pm g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$$

No existe una regla del producto para integrales: $\int f\,g\,dx \neq \int f\,dx\cdot\int g\,dx$.

Tabla de integrales inmediatas

La regla de la potencia: súmale 1 al exponente y divide entre el nuevo exponente.

Ejemplos resueltos

1. Polinomio:

$$\int (3x^2 + 4x - 1)\,dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + 4\cdot\frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + 2x^2 - x + C$$

2. Raíces y potencias negativas (se reescriben como potencias):

$$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

$$\int \frac{dx}{x^2} = \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$$

3. Desarrollando primero:

$$\int (x + 1)^2\,dx = \int (x^2 + 2x + 1)\,dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C$$

4. Trigonométricas y exponenciales:

$$\int (5\cos x - 2\sin x)\,dx = 5\sin x + 2\cos x + C \qquad\quad \int\left(e^x + \frac{1}{x}\right)dx = e^x + \ln|x| + C$$

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

$2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.

2. Calcula $\int \frac{3}{x}\,dx$Ver respuestaOcultar respuesta

$3\ln|x| + C$.

3. Comprueba derivando que $\int \cos x\,dx = \sin x + C$Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{d}{dx}(\sin x + C) = \cos x$ ✓

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de integrales

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Granville, W. A. (2009). Cálculo diferencial e integral. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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