La hipérbola: elementos, asíntotas y ecuaciones

La hipérbola tiene dos ramas separadas que se abren cada vez más y se acercan a dos rectas llamadas asíntotas. Aparece en la trayectoria de algunos cometas, en el diseño de torres de enfriamiento y en los sistemas de navegación que ubican un barco a partir de diferencias de tiempo entre señales.

Definición y elementos

Una hipérbola es el conjunto de puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos (los focos) es constante e igual a $2a$.

• Centro ($C$): punto medio entre los focos.
• Vértices ($V$): a una distancia $a$ del centro, sobre el eje transverso (que mide $2a$).
• Focos ($F$): a una distancia $c$ del centro.
• Eje conjugado: perpendicular al transverso, mide $2b$.
• Relación fundamental: $c^2 = a^2 + b^2$ (aquí $c$ es el mayor; en la elipse era $a$).
• Lado recto: $LR = \dfrac{2b^2}{a}$.
• Excentricidad: $e = \dfrac{c}{a} > 1$.

Hipérbola con centro en el origen

El término positivo indica la dirección del eje transverso, y $a^2$ siempre está bajo el término positivo (no importa si es mayor o menor que $b^2$).

Ejemplo: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$. El término positivo es el de $x$: eje horizontal, $a = 4$, $b = 3$ y $c = \sqrt{16 + 9} = 5$.

• Vértices $(\pm 4,\, 0)$ y focos $(\pm 5,\, 0)$.
• Asíntotas $y = \pm\dfrac{3}{4}x$.
• Lado recto: $\dfrac{2(9)}{4} = \dfrac{9}{2}$. Excentricidad: $\dfrac{5}{4}$.

• asíntota y = 3x/4
• asíntota y = −3x/4
• x²/16 − y²/9 = 1

Truco para las asíntotas: cambia el 1 de la ecuación por 0 y despeja $y$: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 0 \Rightarrow y = \pm\dfrac{3}{4}x$.

A partir de datos: vértices $(0,\, \pm 3)$ y focos $(0,\, \pm 5)$. Eje vertical, $a = 3$, $c = 5$, $b^2 = 25 - 9 = 16$:

$$\frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$$

Hipérbola con centro (h, k)

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \qquad\qquad \frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$

Ecuación general

$$Ax^2 + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, \qquad A \text{ y } C \text{ de signos contrarios}$$

Ejemplo: $9x^2 - 4y^2 - 18x - 16y - 43 = 0$.

$$\begin{aligned} 9(x^2 - 2x) - 4(y^2 + 4y) &= 43 \\ 9(x^2 - 2x + 1) - 4(y^2 + 4y + 4) &= 43 + 9 - 16 \\ 9(x-1)^2 - 4(y+2)^2 &= 36 \\ \frac{(x-1)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{9} &= 1 \end{aligned}$$

Centro $(1,\, -2)$, eje horizontal, $a = 2$, $b = 3$, $c = \sqrt{13}$.

Hipérbola equilátera

Si $a = b$, las asíntotas son perpendiculares ($y = \pm x$) y $e = \sqrt{2}$. La función $y = \dfrac{k}{x}$ (es decir, $xy = k$) es una hipérbola equilátera girada 45°.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Cuáles son los vértices, focos y asíntotas de $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1$?Ver respuestaOcultar respuesta

$a = 3$, $b = 4$, $c = 5$. Vértices $(\pm 3,\, 0)$, focos $(\pm 5,\, 0)$ y asíntotas $y = \pm\dfrac{4}{3}x$.

2. ¿Cuál es la excentricidad de la hipérbola anterior?Ver respuestaOcultar respuesta

$e = \dfrac{5}{3}$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la hipérbola

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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