Factorización: factor común, agrupación, diferencia de cuadrados y cubos

Factorizar es escribir un polinomio como una multiplicación de factores más sencillos. Es la operación inversa de los productos notables: si $(x+3)(x-3) = x^2 - 9$, entonces factorizar $x^2-9$ es regresar a $(x+3)(x-3)$. Sirve para simplificar fracciones algebraicas y resolver ecuaciones. En esta clase verás los métodos para binomios y polinomios; los trinomios tienen su propia clase de factorización de trinomios.

1. Factor común

Es siempre el primer paso. Se busca el mayor factor que divide a todos los términos: el MCD de los coeficientes y las letras comunes con su menor exponente.

$$6x^3 - 9x^2 + 3x = 3x(2x^2 - 3x + 1)$$

$$12a^2b - 18ab^2 = 6ab(2a - 3b)$$

El factor común también puede ser un polinomio:

$$a(x+y) - b(x+y) = (x+y)(a-b)$$

Comprobación: multiplica el resultado; debes obtener el polinomio original.

2. Agrupación de términos

Cuando no hay un factor común a todos los términos, se agrupan de dos en dos, se saca factor común en cada grupo y aparece un binomio común:

$$ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y) = (x+y)(a+b)$$ $$x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = x^2(x-2) + 3(x-2) = (x-2)(x^2+3)$$

Si al agrupar no aparece un factor común, prueba otra forma de agrupar.

3. Diferencia de cuadrados

Un binomio que es una resta de dos cuadrados perfectos se factoriza como binomios conjugados:

$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$

Se saca la raíz cuadrada de cada término:

$$49x^2 - 25y^2 = (7x + 5y)(7x - 5y) \qquad\qquad 1 - 16m^4 = (1 + 4m^2)(1 - 4m^2)$$

A veces se puede factorizar de nuevo:

$$x^4 - 16 = (x^2+4)(x^2-4) = (x^2+4)(x+2)(x-2)$$

Ojo: la suma de cuadrados $a^2 + b^2$ no se factoriza con números reales.

4. Suma y diferencia de cubos

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) \qquad\qquad a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

Se sacan las raíces cúbicas $a$ y $b$. El binomio lleva el mismo signo del original y el trinomio lleva el signo contrario en el término del medio.

$$8x^3 - 27 = (2x)^3 - 3^3 = (2x - 3)(4x^2 + 6x + 9)$$

$$x^3 + 64 = (x+4)(x^2 - 4x + 16)$$

Truco para recordar los signos: «mismo, opuesto, siempre positivo» (MOSP).

Estrategia general para factorizar

1. Saca factor común si lo hay.
2. Cuenta los términos:
   • Dos términos: diferencia de cuadrados, suma o diferencia de cubos.
   • Tres términos: trinomio cuadrado perfecto o trinomios de la forma $x^2+bx+c$ o $ax^2+bx+c$.
   • Cuatro o más: agrupación.
3. Revisa si algún factor se puede factorizar otra vez.
4. Comprueba multiplicando.

Ejemplo combinado:

$$2x^3 - 50x = 2x(x^2 - 25) = 2x(x+5)(x-5)$$

Comprueba lo aprendido

1. Factoriza $15x^2y - 10xy^2$Ver respuestaOcultar respuesta

$5xy(3x - 2y)$.

2. Factoriza $36 - a^2$Ver respuestaOcultar respuesta

$(6+a)(6-a)$.

3. Factoriza $y^3 - 1$Ver respuestaOcultar respuesta

$(y-1)(y^2 + y + 1)$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de productos notables y factorización

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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