Problemas que se resuelven con ecuaciones de primer grado

Resolver la ecuación suele ser lo fácil; lo difícil es plantearla. En esta clase verás un método para traducir un problema escrito a una ecuación de primer grado y ejemplos de los tipos que más aparecen en los exámenes.

Método para plantear problemas

1. Lee el problema completo e identifica qué te preguntan.
2. Asigna una letra a la cantidad desconocida (y escribe qué representa).
3. Expresa las demás cantidades en términos de esa letra.
4. Escribe la ecuación a partir de la relación que describe el problema.
5. Resuelve la ecuación.
6. Responde a la pregunta y comprueba que el resultado tenga sentido.

Números consecutivos

La suma de tres números consecutivos es 87. ¿Cuáles son?

Sea $n$ el primero; los siguientes son $n+1$ y $n+2$.

$$n + (n+1) + (n+2) = 87 \;\Rightarrow\; 3n + 3 = 87 \;\Rightarrow\; n = 28$$

Los números son 28, 29 y 30.

Edades

Ana tiene el triple de la edad de su hijo. Dentro de 12 años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?

$$3x + 12 = 2(x + 12) \;\Rightarrow\; 3x + 12 = 2x + 24 \;\Rightarrow\; x = 12$$

El hijo tiene 12 años y Ana 36. Comprobación: en 12 años, 48 es el doble de 24 ✓

Geometría

El largo de un rectángulo mide 5 cm más que su ancho y su perímetro es de 58 cm. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Ancho $= a$, largo $= a + 5$:

$$2a + 2(a+5) = 58 \;\Rightarrow\; 4a + 10 = 58 \;\Rightarrow\; a = 12$$

Mide 12 cm de ancho y 17 cm de largo.

Cantidades con distinto precio

Se vendieron 200 boletos: los de adulto a $80 y los de niño a $50. Se recaudaron $13 300. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?

Adultos $= x$, niños $= 200 - x$:

$$80x + 50(200 - x) = 13\,300 \;\Rightarrow\; 30x + 10\,000 = 13\,300 \;\Rightarrow\; x = 110$$

Se vendieron 110 boletos de adulto y 90 de niño.

Movimiento

Dos autos salen al mismo tiempo de dos ciudades separadas por 360 km y viajan uno hacia el otro, a 70 km/h y 50 km/h. ¿En cuánto tiempo se encuentran?

Se usa $d = v\,t$. Juntos, recorren los 360 km:

$$70t + 50t = 360 \;\Rightarrow\; 120t = 360 \;\Rightarrow\; t = 3$$

Se encuentran a las 3 horas.

Trabajo conjunto

Una llave llena un tanque en 6 horas y otra en 3 horas. ¿Cuánto tardan abiertas al mismo tiempo?

En una hora, la primera llena $\frac{1}{6}$ del tanque y la segunda $\frac{1}{3}$. Si juntas tardan $t$ horas, en una hora llenan $\frac{1}{t}$:

$$\frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1}{t} \;\Rightarrow\; \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; t = 2$$

Tardan 2 horas.

Porcentajes

Un celular cuesta $4 640 con IVA del 16 % incluido. ¿Cuál es su precio sin IVA?

$$p + 0.16p = 4640 \;\Rightarrow\; 1.16p = 4640 \;\Rightarrow\; p = 4000$$

El precio sin IVA es $4 000.

Comprueba lo aprendido

1. Un número más su mitad es igual a 45. ¿Cuál es el número?Ver respuestaOcultar respuesta

$x + \dfrac{x}{2} = 45 \Rightarrow \dfrac{3x}{2} = 45 \Rightarrow x = 30$.

2. Si al doble de un número se le restan 7, se obtiene 25. ¿Cuál es el número?Ver respuestaOcultar respuesta

$2x - 7 = 25 \Rightarrow 2x = 32 \Rightarrow x = 16$.

3. Luis tiene $30 más que Pedro y entre los dos tienen $170. ¿Cuánto tiene cada uno?Ver respuestaOcultar respuesta

Pedro: $x$; Luis: $x + 30$. $2x + 30 = 170 \Rightarrow x = 70$. Pedro tiene $70 y Luis $100.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de ecuaciones de primer grado

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Pólya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Trillas.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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