Ejercicios resueltos de la recta (geometría analítica)

Ejercicios de la unidad 9 del curso de matemáticas: la recta. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Distancia, punto medio y división de segmentos

1.- ¿Cuál es la distancia entre $(-3,\, 2)$ y $(5,\, -4)$?

• a) $8$
• b) $10$
• c) $\sqrt{68}$
• d) $14$

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $\sqrt{(5+3)^2 + (-4-2)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$.

2.- Encuentra el punto medio del segmento de $(-4,\, 7)$ a $(6,\, -1)$.

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\left(\dfrac{-4 + 6}{2},\, \dfrac{7 - 1}{2}\right) = (1,\, 3)$.

3.- El punto medio de $AB$ es $(2,\, 5)$ y $A(-1,\, 3)$. ¿Cuáles son las coordenadas de $B$?

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{-1 + x}{2} = 2 \Rightarrow x = 5$; $\dfrac{3 + y}{2} = 5 \Rightarrow y = 7$. $B(5,\, 7)$.

4.- ¿Cuál es el perímetro del triángulo con vértices $A(0,\, 0)$, $B(3,\, 4)$ y $C(3,\, 0)$?

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$AB = 5$, $BC = 4$, $CA = 3$. Perímetro: 12.

5.- Encuentra el punto que divide al segmento de $A(-2,\, -1)$ a $B(8,\, 4)$ en la razón $r = \dfrac{3}{2}$.

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$x = \frac{-2 + \frac{3}{2}(8)}{1 + \frac{3}{2}} = \frac{10}{2.5} = 4 \qquad y = \frac{-1 + \frac{3}{2}(4)}{2.5} = \frac{5}{2.5} = 2$$

El punto es $(4,\, 2)$.

Pendiente y ecuaciones

6.- La pendiente de la recta que pasa por $(2,\, -3)$ y $(-1,\, 6)$ es:

• a) $3$
• b) $-3$
• c) $\dfrac{1}{3}$
• d) $-\dfrac{1}{3}$

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $\dfrac{6 - (-3)}{-1 - 2} = \dfrac{9}{-3} = -3$.

7.- ¿Cuál es el ángulo de inclinación de una recta con pendiente $-1$?

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\tan\theta = -1 \Rightarrow \theta = 135°$.

8.- Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por $(-2,\, 5)$ con pendiente $-3$.

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$y - 5 = -3(x + 2) \Rightarrow y = -3x - 1 \Rightarrow 3x + y + 1 = 0$.

9.- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por $(1,\, -1)$ y $(3,\, 5)$.

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$m = \dfrac{5 + 1}{3 - 1} = 3$. $\;y + 1 = 3(x - 1) \Rightarrow y = 3x - 4$, o $3x - y - 4 = 0$.

10.- La pendiente y la ordenada al origen de $4x + 2y - 6 = 0$ son:

• a) $m = 2$, $b = 3$
• b) $m = -2$, $b = -3$
• c) $m = -2$, $b = 3$
• d) $m = 4$, $b = -6$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) Despejando: $2y = -4x + 6 \Rightarrow y = -2x + 3$.

11.- Escribe la ecuación general de la recta que corta al eje $X$ en 4 y al eje $Y$ en $-3$.

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Forma simétrica: $\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{-3} = 1$. Multiplicando por 12: $3x - 4y = 12 \Rightarrow 3x - 4y - 12 = 0$.

Paralelas, perpendiculares y distancias

12.- Las rectas $2x - 3y + 1 = 0$ y $3x + 2y - 4 = 0$ son:

• a) Paralelas
• b) Perpendiculares
• c) La misma recta
• d) Ninguna de las anteriores

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) Sus pendientes son $\dfrac{2}{3}$ y $-\dfrac{3}{2}$, cuyo producto es $-1$.

13.- Encuentra la recta que pasa por $(4,\, 1)$ y es paralela a $y = -2x + 5$.

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Misma pendiente: $y - 1 = -2(x - 4) \Rightarrow y = -2x + 9$.

14.- Encuentra la recta que pasa por $(0,\, 3)$ y es perpendicular a $x - 4y + 2 = 0$.

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

La pendiente de la recta dada es $\dfrac{1}{4}$; la perpendicular tiene pendiente $-4$ y ordenada 3: $y = -4x + 3$.

15.- ¿Qué valor de $k$ hace que $kx + 3y - 1 = 0$ sea paralela a $2x - y + 7 = 0$?

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Pendientes iguales: $-\dfrac{k}{3} = 2 \Rightarrow k = -6$.

16.- Calcula la distancia del punto $(1,\, -2)$ a la recta $5x - 12y + 4 = 0$.

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$$d = \frac{|5(1) - 12(-2) + 4|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{33}{13} \approx 2.54$$

17.- La distancia entre las rectas paralelas $3x - 4y + 2 = 0$ y $3x - 4y - 8 = 0$ es:

• a) $10$
• b) $2$
• c) $\dfrac{6}{5}$
• d) $5$

17. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $d = \dfrac{|2 - (-8)|}{5} = 2$.

18.- ¿En qué punto se cortan $x + y = 5$ y $2x - y = 1$?

18. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Sumando: $3x = 6 \Rightarrow x = 2$, y $y = 3$. Se cortan en $(2,\, 3)$.

Rectas notables del triángulo

19.- Calcula el baricentro del triángulo con vértices $(1,\, 2)$, $(5,\, -2)$ y $(3,\, 6)$.

19. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\left(\dfrac{9}{3},\, \dfrac{6}{3}\right) = (3,\, 2)$.

20.- Encuentra la ecuación de la mediatriz del segmento de $A(1,\, 1)$ a $B(5,\, 3)$.

20. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Punto medio $(3,\, 2)$; pendiente de $AB$: $\dfrac{1}{2}$, así que la mediatriz tiene pendiente $-2$:

$$y - 2 = -2(x - 3) \Rightarrow 2x + y - 8 = 0$$

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Distancia y punto medio

Ecuaciones de la recta

Paralelas y perpendiculares

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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