Sistemas de ecuaciones 3×3: reducción y regla de Cramer

Cuando hay tres incógnitas se necesitan tres ecuaciones. La idea es la misma que en los sistemas de 2×2: eliminar incógnitas hasta quedarse con una. En esta clase lo resolveremos de dos formas, con el mismo ejemplo:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 & (1)\\ 2x - y + z = 3 & (2)\\ x + 2y - z = 2 & (3) \end{cases}$$

Método de reducción

Paso 1. Elimina la misma incógnita usando dos pares de ecuaciones. Eliminamos $z$:

• $(1) + (3)$: $\;\;2x + 3y = 8 \quad (4)$
• $(2) + (3)$: $\;\;3x + y = 5 \quad (5)$

Paso 2. Resuelve el sistema de $2\times2$ que queda con las ecuaciones (4) y (5). De (5), $y = 5 - 3x$; en (4):

$$2x + 3(5 - 3x) = 8 \Rightarrow 2x + 15 - 9x = 8 \Rightarrow -7x = -7 \Rightarrow x = 1$$

Entonces $y = 5 - 3 = 2$.

Paso 3. Sustituye en una de las ecuaciones originales para obtener la tercera incógnita. En (1): $1 + 2 + z = 6 \Rightarrow z = 3$.

Solución: $x = 1$, $y = 2$, $z = 3$.

Comprobación en (2): $2(1) - 2 + 3 = 3$ ✓ y en (3): $1 + 4 - 3 = 2$ ✓

Determinantes de 3×3: regla de Sarrus

Para calcular un determinante de $3\times3$, se copian las dos primeras columnas a la derecha y se suman los productos de las diagonales que bajan menos los de las diagonales que suben. De forma equivalente, se puede desarrollar por la primera fila:

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

Regla de Cramer

Igual que en $2\times2$: $\Delta$ es el determinante de los coeficientes y, para $\Delta_x$, $\Delta_y$, $\Delta_z$, se reemplaza la columna de cada incógnita por la columna de términos independientes.

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(1 - 2) - 1(-2 - 1) + 1(4 + 1) = -1 + 3 + 5 = 7$$ $$\Delta_x = \begin{vmatrix} 6 & 1 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 6(1 - 2) - 1(-3 - 2) + 1(6 + 2) = -6 + 5 + 8 = 7$$ $$\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 1(-3 - 2) - 6(-2 - 1) + 1(4 - 3) = -5 + 18 + 1 = 14$$ $$\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 1(-2 - 6) - 1(4 - 3) + 6(4 + 1) = -8 - 1 + 30 = 21$$

$$x = \frac{7}{7} = 1 \qquad y = \frac{14}{7} = 2 \qquad z = \frac{21}{7} = 3$$

¿Qué método conviene?

• Reducción: suele ser el más rápido a mano, sobre todo si una incógnita tiene coeficientes $\pm1$.
• Cramer: es mecánico y útil cuando solo te preguntan el valor de una incógnita (calculas solo $\Delta$ y el determinante de esa incógnita).

Comprueba lo aprendido

1. Resuelve $x + y + z = 9$, $x - y + z = 3$, $x + y - z = 1$Ver respuestaOcultar respuesta

Restando (1) − (2): $2y = 6 \Rightarrow y = 3$. Restando (1) − (3): $2z = 8 \Rightarrow z = 4$. Entonces $x = 9 - 3 - 4 = 2$.

2. Calcula $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix}$Ver respuestaOcultar respuesta

$2(12 - 0) - 0(4 - 0) + 1(1 - 0) = 24 + 1 = 25$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de sistemas de ecuaciones

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Grossman, S. I. y Flores Godoy, J. J. (2012). Álgebra lineal (7.ª ed.). McGraw-Hill.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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