Límites: concepto intuitivo, límites laterales y teoremas

El límite es la idea que da origen a todo el cálculo: la derivada y la integral se definen con límites. Responde a la pregunta «¿a qué valor se acerca $f(x)$ cuando $x$ se acerca a cierto número?», aunque la función no esté definida justo en ese número.

Idea intuitiva

Considera $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$. No se puede evaluar en $x = 1$ (daría $\frac{0}{0}$), pero podemos ver qué pasa cerca:

Cuando $x$ se acerca a 1 por ambos lados, $f(x)$ se acerca a 2. Se escribe:

$$\lim_{x\to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 2$$

Gráficamente, es la recta $y = x + 1$ con un hueco en $(1,\, 2)$:

• f(x) = (x² − 1)/(x − 1)

Lo importante: el límite describe hacia dónde tiende la función, no cuánto vale en el punto.

Límites laterales

• Por la izquierda: $\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)$, acercándose con valores menores que $a$.
• Por la derecha: $\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)$, acercándose con valores mayores que $a$.

El límite existe si y solo si los dos límites laterales existen y son iguales.

Ejemplo: $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x < 2 \\ 5 - x & x \ge 2 \end{cases}$

$$\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3 \qquad \lim_{x\to 2^+} f(x) = 3 \qquad\Rightarrow\qquad \lim_{x\to 2} f(x) = 3$$

Cuándo un límite no existe

1. Salto: los límites laterales son distintos.
2. Crece sin límite: $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$ (el límite «no existe» como número; se dice que tiende a infinito).
3. Comportamientos distintos a cada lado: $\displaystyle\lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty$ y $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty$.

• f(x) = 1/x

Teoremas sobre límites

Si $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = L$ y $\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = M$:

Consecuencia práctica: para polinomios, funciones racionales (con denominador distinto de cero), raíces, exponenciales y trigonométricas, el límite se obtiene sustituyendo directamente:

$$\lim_{x\to 2}(3x^2 - 1) = 3(4) - 1 = 11 \qquad\quad \lim_{x\to 4}\sqrt{2x + 1} = \sqrt{9} = 3$$

Si al sustituir aparece $\dfrac{0}{0}$, el límite no es indefinido: hay que transformar la expresión. Eso se estudia en límites indeterminados.

Un límite especial

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad (x \text{ en radianes})$$

De él se deduce, por ejemplo, $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{3x} = 3$.

Comprueba lo aprendido

1. Calcula $\lim_{x\to -1}(2x^3 - x + 4)$Ver respuestaOcultar respuesta

$2(-1) - (-1) + 4 = -2 + 1 + 4 = 3$.

2. ¿Existe $\lim_{x\to 2}\frac{1}{x-2}$?Ver respuestaOcultar respuesta

No: por la izquierda tiende a $-\infty$ y por la derecha a $+\infty$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de límites

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Purcell, E. J., Varberg, D. y Rigdon, S. E. (2007). Cálculo (9.ª ed.). Pearson Educación.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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