Productos notables: binomio al cuadrado, conjugados y binomio al cubo

Los productos notables son multiplicaciones que aparecen tan seguido que conviene memorizar su resultado en lugar de multiplicar término por término. Además, leídos al revés, son la base de la factorización.

Binomio al cuadrado

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad\qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

En palabras: el cuadrado del primero, más (o menos) el doble del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo. El resultado se llama trinomio cuadrado perfecto.

$$(3x+5)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + 5^2 = 9x^2 + 30x + 25$$

$$(2a-3b)^2 = (2a)^2 - 2(2a)(3b) + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$$

Interpretación geométrica: un cuadrado de lado $a+b$ se divide en un cuadrado de área $a^2$, otro de área $b^2$ y dos rectángulos de área $ab$ cada uno.

Error frecuente: $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. Falta el término central $2ab$: $(3+4)^2 = 49$, mientras que $3^2+4^2 = 25$.

Binomios conjugados

Son dos binomios iguales salvo por el signo del medio. Su producto es una diferencia de cuadrados:

$$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$

$$(5x+2)(5x-2) = 25x^2 - 4 \qquad\qquad (x^2+3y)(x^2-3y) = x^4 - 9y^2$$

Binomios con un término común

$$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$$

El cuadrado del término común, más la suma de los no comunes por el término común, más el producto de los no comunes:

$$(x+7)(x-3) = x^2 + (7-3)x + (7)(-3) = x^2 + 4x - 21$$

$$(y-6)(y-2) = y^2 - 8y + 12$$

Binomio al cubo

$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \qquad\qquad (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

En la resta, los signos se alternan: $+,\,-,\,+,\,-$.

$$(x+2)^3 = x^3 + 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$$

$$(2y-1)^3 = 8y^3 - 3(4y^2)(1) + 3(2y)(1) - 1 = 8y^3 - 12y^2 + 6y - 1$$

Trinomio al cuadrado

$$(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$$

$$(x + y - 3)^2 = x^2 + y^2 + 9 + 2xy - 6x - 6y$$

Resumen de fórmulas

Para potencias mayores, como $(a+b)^5$, se usa el binomio de Newton.

Comprueba lo aprendido

1. Desarrolla $(x-4)^2$Ver respuestaOcultar respuesta

$x^2 - 8x + 16$.

2. Calcula $(3a+1)(3a-1)$Ver respuestaOcultar respuesta

$9a^2 - 1$ (binomios conjugados).

3. Calcula $(x+5)(x+4)$Ver respuestaOcultar respuesta

$x^2 + 9x + 20$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de productos notables y factorización

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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