Problemas que se resuelven con ecuaciones de segundo grado

Muchos problemas de áreas, movimiento y geometría llevan a una ecuación de segundo grado. El método para plantearlos es el mismo que en los problemas de primer grado, pero con un paso extra: como la ecuación puede tener dos soluciones, hay que revisar cuál tiene sentido en el contexto. Una longitud o un tiempo negativos, por ejemplo, se descartan.

Números

El cuadrado de un número menos su triple es igual a 40. ¿Cuál es el número?

$$x^2 - 3x = 40 \;\Rightarrow\; x^2 - 3x - 40 = 0 \;\Rightarrow\; (x-8)(x+5) = 0$$

Hay dos números que cumplen: 8 y −5. Comprobación: $64 - 24 = 40$ y $25 + 15 = 40$ ✓

El producto de dos enteros consecutivos es 156. ¿Cuáles son?

$$n(n+1) = 156 \;\Rightarrow\; n^2 + n - 156 = 0 \;\Rightarrow\; (n+13)(n-12) = 0$$

Los números son 12 y 13 (o también −13 y −12, si se permiten negativos).

Áreas

Un terreno rectangular tiene 96 m² de área y su largo mide 4 m más que su ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones?

Ancho $= x$, largo $= x + 4$:

$$x(x+4) = 96 \;\Rightarrow\; x^2 + 4x - 96 = 0 \;\Rightarrow\; (x+12)(x-8) = 0$$

La solución $x = -12$ se descarta porque una longitud no puede ser negativa. El terreno mide 8 m de ancho y 12 m de largo.

Teorema de Pitágoras

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y un cateto mide 7 cm más que el otro. ¿Cuánto miden los catetos?

Catetos $x$ y $x + 7$:

$$\begin{aligned} x^2 + (x+7)^2 &= 13^2 \\ 2x^2 + 14x + 49 &= 169 \\ x^2 + 7x - 60 &= 0 \\ (x + 12)(x - 5) &= 0 \end{aligned}$$

Se descarta $x = -12$. Los catetos miden 5 cm y 12 cm.

Tiro vertical

La altura (en metros) de una pelota lanzada hacia arriba es $h = 20t - 5t^2$, donde $t$ es el tiempo en segundos. ¿En qué momentos está a 15 m de altura? ¿Cuándo vuelve al suelo?

A 15 m:

$$20t - 5t^2 = 15 \;\Rightarrow\; 5t^2 - 20t + 15 = 0 \;\Rightarrow\; t^2 - 4t + 3 = 0 \;\Rightarrow\; (t-1)(t-3) = 0$$

Pasa por los 15 m dos veces: a 1 s (subiendo) y a 3 s (bajando).

En el suelo, $h = 0$: $5t(4 - t) = 0$, así que $t = 0$ (el lanzamiento) o $t = 4$. Regresa al suelo a los 4 segundos.

• h = 20t − 5t²

Comprueba lo aprendido

1. Dos números suman 10 y su producto es 21. ¿Cuáles son?Ver respuestaOcultar respuesta

Si uno es $x$, el otro es $10 - x$: $x(10 - x) = 21 \Rightarrow x^2 - 10x + 21 = 0 \Rightarrow (x-3)(x-7) = 0$. Son 3 y 7.

2. Un cuadrado tiene 81 cm² de área. ¿Cuánto mide su lado?Ver respuestaOcultar respuesta

$x^2 = 81 \Rightarrow x = \pm 9$. Se descarta el negativo: el lado mide 9 cm.

3. La base de un triángulo mide el doble de su altura y su área es 25 cm². ¿Cuánto mide la altura?Ver respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{(2h)(h)}{2} = 25 \Rightarrow h^2 = 25 \Rightarrow h = 5$ cm (la base mide 10 cm).

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de ecuaciones de segundo grado

Referencias

• Baldor, A. (2007). Álgebra. Grupo Editorial Patria.
• Pólya, G. (1965). Cómo plantear y resolver problemas. Trillas.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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