Máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (mcm)

El máximo común divisor (MCD) y el mínimo común múltiplo (mcm) aparecen cada vez que simplificas o sumas fracciones, y en problemas de reparto y de coincidencias. Los dos se obtienen descomponiendo los números en factores primos.

Antes de empezar: divisores, múltiplos y primos

• Un divisor de un número lo divide exactamente (residuo cero). Los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
• Un múltiplo de un número se obtiene al multiplicarlo por un entero. Los múltiplos de 12 son 12, 24, 36, 48…
• Un número primo solo tiene dos divisores: 1 y él mismo. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13… Repásalos en la clasificación de los números.

Máximo común divisor (MCD)

Es el mayor de los divisores que es común a dos o más números.

Ejemplo: MCD de 36, 30 y 18

Los números se dividen al mismo tiempo entre factores primos que los dividan a todos, hasta que ya no tengan un divisor primo en común:

El máximo común divisor es el producto de los números primos de la derecha:

$$\text{MCD}(36, 30, 18) = 2 \times 3 = 6$$

Comprobación: $36 \div 6 = 6$, $30 \div 6 = 5$ y $18 \div 6 = 3$, y los cocientes 6, 5 y 3 ya no tienen divisores comunes.

Otro ejemplo: MCD de 48 y 60

4 y 5 ya no tienen divisores primos en común, así que $\text{MCD}(48, 60) = 2 \times 2 \times 3 = 12$.

Mínimo común múltiplo (mcm)

Es el menor de los múltiplos que es común a dos o más números.

Ejemplo: mcm de 36, 12 y 15

Los números se descomponen simultáneamente en factores primos hasta que el cociente de cada uno sea 1. A diferencia del MCD, aquí se divide aunque el primo solo divida a alguno de los números (los demás se bajan igual):

El mínimo común múltiplo es el producto de todos los primos de la derecha:

$$\text{mcm}(36, 12, 15) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 180$$

Otro ejemplo: mcm de 4, 6 y 10

$\text{mcm}(4, 6, 10) = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 60$.

Otro método: con las potencias de los primos

Descompón cada número por separado y compara:

$$48 = 2^4 \cdot 3 \qquad\qquad 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$$

• MCD: los primos comunes con su menor exponente. $2^2 \cdot 3 = 12$
• mcm: todos los primos (comunes y no comunes) con su mayor exponente. $2^4 \cdot 3 \cdot 5 = 240$

Para dos números se cumple siempre que $\text{MCD} \times \text{mcm} = a \times b$. Aquí, $12 \times 240 = 2880 = 48 \times 60$.

¿Cuándo se usa cada uno?

Si dos números no tienen divisores primos en común (como 8 y 15), su MCD es 1 y se llaman primos relativos; su mcm es su producto.

Problemas resueltos

1. Se tienen dos listones de 120 cm y 180 cm y se quieren cortar en trozos iguales del mayor tamaño posible, sin que sobre nada. ¿Cuánto debe medir cada trozo y cuántos salen?

Se busca el mayor número que divide a los dos: $\text{MCD}(120, 180) = 60$. Cada trozo mide 60 cm y salen $2 + 3 = 5$ trozos.

2. De una terminal sale un autobús cada 12 minutos y otro cada 18 minutos. Si acaban de salir juntos, ¿en cuántos minutos volverán a coincidir?

Se busca el menor múltiplo común: $\text{mcm}(12, 18) = 36$. Coinciden cada 36 minutos.

3. Suma $\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{18}$.

El denominador común es $\text{mcm}(12, 18) = 36$:

$$\frac{5}{12} + \frac{7}{18} = \frac{15}{36} + \frac{14}{36} = \frac{29}{36}$$

Verás más de esto en operaciones con fracciones.

Comprueba lo aprendido

1. ¿Qué es el máximo común divisor?Ver respuestaOcultar respuesta

Es el mayor número que divide exactamente a dos o más números. Por ejemplo, $\text{MCD}(36, 30, 18) = 6$.

2. ¿Qué es el mínimo común múltiplo?Ver respuestaOcultar respuesta

Es el menor número (distinto de cero) que es múltiplo de dos o más números a la vez. Por ejemplo, $\text{mcm}(36, 12, 15) = 180$.

3. ¿En qué se diferencia la descomposición simultánea para el MCD de la del mcm?Ver respuestaOcultar respuesta

Para el MCD solo se divide entre primos que dividen a todos los números y se termina cuando ya no hay divisores comunes. Para el mcm se divide entre cualquier primo que divida al menos a uno, hasta que todos los cocientes sean 1.

4. Los focos del ejercicio parpadean cada 4, 6 y 10 segundos. ¿Cada cuánto coinciden?Ver respuestaOcultar respuesta

Cada $\text{mcm}(4, 6, 10) = 60$ segundos.

5. ¿Cuánto mide el lado de la loseta más grande para un piso de 300 cm × 420 cm?Ver respuestaOcultar respuesta

$300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$ y $420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, así que $\text{MCD} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$. Cada loseta mide 60 cm de lado y caben $5 \times 7 = 35$ losetas.

Practica y repasa con ejercicios resueltos (Parte 1), ejercicios resueltos (Parte 2) y ejercicios resueltos (Parte 3) en el curso de matemáticas.

Referencias

• Baldor, A. (2007). Aritmética (2.ª ed.). Grupo Editorial Patria.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación.

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