Ejercicios resueltos de aplicaciones de la derivada

Ejercicios de la unidad 16 del curso de matemáticas, segunda parte: aplicaciones de la derivada. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento.

Recta tangente y normal

1.- ¿Cuál es la pendiente de la tangente a $y = x^2 - 4x$ en $x = 3$?

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$y' = 2x - 4$; en $x = 3$: $m = 2$.

2.- La ecuación de la recta tangente a $y = x^2$ en el punto $(2,\, 4)$ es:

• a) $y = 2x$
• b) $y = 4x - 4$
• c) $y = 4x + 4$
• d) $y = 2x + 4$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $m = 2(2) = 4$; $y - 4 = 4(x - 2) \Rightarrow y = 4x - 4$.

3.- Encuentra la recta normal a $y = x^2$ en $(2,\, 4)$.

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$m_n = -\dfrac{1}{4}$: $y - 4 = -\dfrac{1}{4}(x - 2) \Rightarrow x + 4y - 18 = 0$.

4.- ¿En qué punto la tangente a $y = x^2 - 6x + 1$ es horizontal?

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$y' = 2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$; $y = 9 - 18 + 1 = -8$. En el punto $(3,\, -8)$.

Interpretación física

5.- Un móvil se desplaza según $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$ (metros, segundos). Calcula su velocidad y aceleración en $t = 2$ s. ¿En qué instantes está en reposo?

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$v(t) = 3t^2 - 12t + 9$, así que $v(2) = 12 - 24 + 9 = -3$ m/s (se mueve en sentido negativo).

$a(t) = 6t - 12$, así que $a(2) = 0$ m/s².

Reposo: $v = 0 \Rightarrow 3(t - 1)(t - 3) = 0 \Rightarrow t = 1$ s y $t = 3$ s.

6.- Una pelota se lanza hacia arriba y su altura es $h(t) = 40t - 5t^2$. ¿Cuál es su altura máxima?

• a) 40 m
• b) 80 m
• c) 160 m
• d) 20 m

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $h'(t) = 40 - 10t = 0 \Rightarrow t = 4$ s; $h(4) = 160 - 80 = 80$ m.

Máximos, mínimos e inflexión

7.- Encuentra los máximos y mínimos de $f(x) = x^3 - 12x$.

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$; $f''(x) = 6x$.

• $x = -2$: $f'' = -12 < 0$, máximo $(-2,\, 16)$.
• $x = 2$: $f'' = 12 > 0$, mínimo $(2,\, -16)$.

8.- ¿En qué intervalos crece y decrece $f(x) = x^2 - 4x + 3$?

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$f'(x) = 2x - 4$. Crece en $(2,\, \infty)$ y decrece en $(-\infty,\, 2)$.

9.- El valor máximo de $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ es:

• a) $3$
• b) $4$
• c) $-5$
• d) $9$

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $f'(x) = -2x + 6 = 0 \Rightarrow x = 3$; $f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$.

10.- Encuentra el punto de inflexión de $f(x) = x^3 - 6x^2 + 4$.

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$f''(x) = 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$; $f(2) = 8 - 24 + 4 = -12$. Punto de inflexión $(2,\, -12)$.

Optimización

11.- Dos números suman 30. ¿Cuáles son si su producto es máximo?

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$P = x(30 - x)$; $P' = 30 - 2x = 0 \Rightarrow x = 15$. Ambos son 15.

12.- ¿Cuál es el área máxima de un rectángulo con perímetro de 36 cm?

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$A = x(18 - x)$; $A' = 18 - 2x = 0 \Rightarrow x = 9$. Es un cuadrado de 9 cm de lado: área 81 cm².

13.- De una lámina de 18 cm × 18 cm se cortan cuadrados de lado $x$ en las esquinas para hacer una caja sin tapa. ¿Qué valor de $x$ da el volumen máximo?

• a) 2 cm
• b) 3 cm
• c) 4.5 cm
• d) 6 cm

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $V = x(18 - 2x)^2$ y $V' = (18 - 2x)(18 - 6x) = 0 \Rightarrow x = 3$ (con $x = 9$ no hay caja). El volumen máximo es $3(12)^2 = 432$ cm³.

14.- ¿Qué número positivo sumado con su recíproco da el menor resultado?

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$S = x + \dfrac{1}{x}$; $S' = 1 - \dfrac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 1$. La suma mínima es 2.

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Recta tangente y normal

Máximos y mínimos

Problemas de optimización

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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