La circunferencia: ecuación ordinaria, general, centro y radio

La circunferencia es la primera de las cónicas, las curvas que se obtienen al cortar un cono con un plano (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola). En geometría analítica, cada una se describe con una ecuación de segundo grado.

Definición y elementos

Una circunferencia es el conjunto de puntos del plano que están a la misma distancia (el radio $r$) de un punto fijo (el centro $C$).

• Radio: segmento del centro a cualquier punto de la circunferencia.
• Diámetro: cuerda que pasa por el centro; mide $2r$.
• Cuerda: segmento que une dos puntos de la circunferencia.
• Tangente: recta que toca la circunferencia en un solo punto; es perpendicular al radio en ese punto.

Ecuación ordinaria (centro y radio)

Con la fórmula de la distancia, un punto $(x,\, y)$ está a distancia $r$ del centro $(h,\, k)$ si:

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Con centro en el origen: $x^2 + y^2 = r^2$.

Ejemplo: centro $(2,\, -3)$ y radio 4:

$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$

• (x − 2)² + (y + 3)² = 16

Ecuación general

Al desarrollar los cuadrados de la forma ordinaria se obtiene:

$$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$

En el ejemplo: $x^2 - 4x + 4 + y^2 + 6y + 9 = 16 \;\Rightarrow\; x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$.

Características: los coeficientes de $x^2$ y $y^2$ son iguales y no hay término $xy$.

De la forma general a centro y radio

Se completan cuadrados (como en las ecuaciones de segundo grado). Para $x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0$:

$$\begin{aligned} (x^2 + 6x) + (y^2 - 4y) &= 12 \\ (x^2 + 6x + 9) + (y^2 - 4y + 4) &= 12 + 9 + 4 \\ (x + 3)^2 + (y - 2)^2 &= 25 \end{aligned}$$

Centro $(-3,\, 2)$ y radio 5.

Fórmulas directas:

$$C = \left(-\frac{D}{2},\; -\frac{E}{2}\right) \qquad\qquad r = \frac{1}{2}\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}$$

Si $D^2 + E^2 - 4F = 0$, la «circunferencia» es un solo punto; si es negativo, no hay ningún punto real.

Si los coeficientes de $x^2$ y $y^2$ no son 1, primero divide toda la ecuación entre ellos.

Encontrar la ecuación a partir de otros datos

Centro y un punto: centro $(1,\, 2)$ y pasa por $(4,\, 6)$. El radio es la distancia entre ellos: $r = \sqrt{9 + 16} = 5$.

$$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$$

Extremos de un diámetro: $A(-1,\, 2)$ y $B(5,\, -6)$. El centro es el punto medio, $(2,\, -2)$, y el radio es la mitad del diámetro: $r = \dfrac{\sqrt{36 + 64}}{2} = 5$.

$$(x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 25$$

Centro y una recta tangente: el radio es la distancia del centro a la recta. Centro $(1,\, 1)$ y tangente a $3x + 4y + 3 = 0$: $r = \dfrac{|3 + 4 + 3|}{5} = 2$.

Comprueba lo aprendido

1. Encuentra el centro y el radio de $x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$Ver respuestaOcultar respuesta

$(x - 4)^2 + (y + 1)^2 = -8 + 16 + 1 = 9$. Centro $(4,\, -1)$, radio 3.

2. Escribe la ecuación de la circunferencia con centro $(-1,\, 4)$ y radio 2Ver respuestaOcultar respuesta

$(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 4$, o en forma general $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 13 = 0$.

Practica con los ejercicios resueltos de esta unidad:

Ejercicios resueltos de la circunferencia

Referencias

• Lehmann, C. H. (1989). Geometría analítica. Limusa.
• Swokowski, E. W. y Cole, J. A. (2011). Álgebra y trigonometría con geometría analítica (13.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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