Ejercicios resueltos de integrales

Ejercicios de la unidad 17 del curso de matemáticas: la integral. Resuelve cada uno y después da clic en «Ver respuesta» para revisar el procedimiento. Recuerda que puedes comprobar cualquier integral indefinida derivando el resultado.

Integrales inmediatas

1.- Calcula $\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx$

1. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.

2.- El resultado de $\displaystyle\int 5\,dx$ es:

• a) $5 + C$
• b) $5x + C$
• c) $\dfrac{5x^2}{2} + C$
• d) $C$

2. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) La integral de una constante es la constante por $x$.

3.- Calcula $\displaystyle\int x^{-3}\,dx$

3. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\dfrac{x^{-2}}{-2} + C = -\dfrac{1}{2x^2} + C$.

4.- Calcula $\displaystyle\int\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$

4. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\displaystyle\int\left(x^{1/2} + x^{-1/2}\right)dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C$.

5.- Calcula $\displaystyle\int \frac{3}{x}\,dx$

5. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$3\ln|x| + C$.

6.- El resultado de $\displaystyle\int (4\cos x + \sec^2 x)\,dx$ es:

• a) $-4\sin x + \tan x + C$
• b) $4\sin x + \tan x + C$
• c) $4\sin x - \tan x + C$
• d) $4\cos x + \sec x + C$

6. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

b) $\int\cos x\,dx = \sin x$ y $\int\sec^2 x\,dx = \tan x$.

Integración por sustitución

7.- Calcula $\displaystyle\int (x - 2)^2\,dx$

7. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Con $u = x - 2$, $du = dx$: $\dfrac{(x - 2)^3}{3} + C$.

8.- Calcula $\displaystyle\int 6x(3x^2 + 1)^4\,dx$

8. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$u = 3x^2 + 1$, $du = 6x\,dx$: $\dfrac{(3x^2 + 1)^5}{5} + C$.

9.- Calcula $\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 2}\,dx$

9. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$u = x^3 + 2$, $du = 3x^2\,dx$, así que $x^2\,dx = \dfrac{du}{3}$:

$$\frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{9}(x^3 + 2)^{3/2} + C$$

10.- El resultado de $\displaystyle\int \cos(4x)\,dx$ es:

• a) $4\sin(4x) + C$
• b) $\sin(4x) + C$
• c) $\dfrac{1}{4}\sin(4x) + C$
• d) $-\dfrac{1}{4}\sin(4x) + C$

10. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) Con $u = 4x$, $du = 4\,dx$.

11.- Calcula $\displaystyle\int e^{-x}\,dx$

11. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$-e^{-x} + C$.

12.- Calcula $\displaystyle\int \frac{2x}{x^2 + 3}\,dx$

12. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

El numerador es la derivada del denominador: $\ln(x^2 + 3) + C$.

13.- Calcula $\displaystyle\int \sin x\cos x\,dx$

13. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$: $\displaystyle\int u\,du = \frac{\sin^2 x}{2} + C$.

Integración por partes

14.- Calcula $\displaystyle\int x\,e^{2x}\,dx$

14. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$u = x$, $dv = e^{2x}\,dx$, $v = \dfrac{1}{2}e^{2x}$:

$$\frac{x}{2}e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C = \frac{e^{2x}}{4}(2x - 1) + C$$

15.- Calcula $\displaystyle\int x\ln x\,dx$

15. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$u = \ln x$, $dv = x\,dx$, $v = \dfrac{x^2}{2}$:

$$\frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C$$

Integral definida y áreas

16.- Calcula $\displaystyle\int_1^2 (3x^2 - 2x)\,dx$

16. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\Big[x^3 - x^2\Big]_1^2 = 4 - 0 = 4$.

17.- El valor de $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ es:

• a) $e$
• b) $1$
• c) $e - 1$
• d) $e + 1$

17. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

c) $\Big[e^x\Big]_0^1 = e - e^0 = e - 1$.

18.- Calcula $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$

18. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\Big[\sin x\Big]_0^{\pi/2} = 1 - 0 = 1$.

19.- Calcula el área bajo $y = x^2 + 1$ entre $x = 0$ y $x = 3$.

19. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

$\left[\dfrac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = 9 + 3 = 12\;u^2$.

20.- Calcula el área entre la curva $y = x^2 - 2x$ y el eje $X$.

20. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

La curva corta el eje en $x = 0$ y $x = 2$, y entre ellos está por debajo:

$$\int_0^2(x^2 - 2x)\,dx = \frac{8}{3} - 4 = -\frac{4}{3} \Rightarrow A = \frac{4}{3}\;u^2$$

21.- El área entre $y = x^2$ y $y = 3x$ es:

• a) $\dfrac{9}{2}\;u^2$
• b) $9\;u^2$
• c) $\dfrac{27}{2}\;u^2$
• d) $\dfrac{4}{3}\;u^2$

21. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

a) Se cortan en $x = 0$ y $x = 3$; arriba está la recta:

$$\int_0^3(3x - x^2)\,dx = \frac{27}{2} - 9 = \frac{9}{2}$$

22.- Calcula el área entre $y = 2 - x^2$ y $y = -x$.

22. RespuestaVer respuestaOcultar respuesta

Se cortan en $x = -1$ y $x = 2$; arriba está la parábola:

$$\int_{-1}^{2}(2 - x^2 + x)\,dx = \left[2x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2} = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{9}{2}\;u^2$$

Si tuviste dudas, repasa las clases de esta unidad:

Integrales inmediatas

Integración por sustitución

Integral definida y áreas

Referencias

• Stewart, J. (2018). Cálculo de una variable: trascendentes tempranas (8.ª ed.). Cengage Learning.
• Colegio Nacional de Matemáticas. Guía práctica para el examen de ingreso a la universidad. Pearson Educación (temario de referencia).

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